Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi biner

1. Grupoid = Himpunan yang tidak kosong dengan satu operasi biner tertutup.

2. Semigrup = Grupoid dengan adanya sifat assosiatif.
3. Monoid = Semigrup dengan adanya elemen identitas.
4. Grup = Monoid dengan setiap elemennya mempunyai invers.

Struktur aljabar dengan satu himpunan dan lebih dari satu operasi biner
1. Ring (gelanggang) = Operasi tidak kosong dengan dua operasi biner penjumlahan (a + b) dan penggandaan (a . b) serta memenuhi aksioma tertentu.

Aksioma dalam Ring

• Terhadap penjumlahan (+)
- Tertutup
- Asosiatif
- Ada elemen identitas
- Setiap elemennya mempunyai invers
- Komutatif

• Terhadap perkalian (penggandaan)
- Tertutup
- Asosiatif



• Bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Sifat-sifat Ring

i. 1. Sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan (+)
 a,b  R dapat ditemukan dengan tunggal elemen C  R sedemikian hingga a + b = c

2. Sifat asosiatif terhadap operasi +
 a,b  R berlaku (a + b) + c = a + (b + c)

3. Ada elemen identitas terhadap operasi +
Ada U  R  untuk  a  R berlaku a + U = U + a = a

4.  elemen R mempunyai invers terhadap operasi +
 a  R dapat ditemukan (-a)  R sedemikian a + (-a) = (-a) + a
= U

5. Sifat komutatif terhadap operasi +
 a,b  R berlaku a + b = b + a

6. Sifat tertutup terhadap operasi perkalian ( . )
 a,b  R dapat ditemukan dengan tunggal a  R sedemikian hingga a . b = c

7. Sifat sosiatif terhadap operasi perkalian ( . )
 a,b,c  R dapat ditemukan (a . b) . c = a . (b . c)

8. Sifat distributir operasi perkalian ( . ) terhadap operasi penjumlahan (+)
 a,b,c  R berlaku
(i) a . (b + c) = a . b + a . c
(ii) (b + c) . a = b . a + c . a

Sifat yang harus dipenuhi agar suatu himpunan R terhadap operasi yang disajikan dengan tanda-tanda + dan . kelompok sifat i1.2.3.4 dan 5 menyatakan bahwa R terhadap operasi + merupakan suatu grup abelian. Kelompok sifat-sifat 6.7 menyatakan bahwa R terhadap operasi perkalian merupakan semi grup.

Contoh :
C = {(a,b) | a dan b bilangan-bilangan real}
Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada C berturut-turut didefinisikan sebagai berikut :
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) dan (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc), apakah C merupakan suatu ring ?
i. 1. Menurut definisi pada C, C bersifat tertutup terhadap penjumlahan, yaitu jumlah dua pasangan berturut-turut merupakan suatu pasangan berturut-turut pula.

2. Sifat asosiatif terhadap operasi +
((a,b) + (c,d)) + (e,f) = (a + c, b + d) + (e,f)
= ((a + c) + e, (b + d) + f)
= (a + (c + e), b + (d + f))
= (a,b) + (c + e, d + f)
= (a,b) + ((c,d) + (e,f))

3. Elemen identitas yaitu (0,0) sebab  (a,b)  C berlaku (a,b) + (0,0) = (0,0) + (a,b) = (a,b)

4.  (a,b)  C mempunyai invers terhadap + yaitu (-a, -b) sebab (a,b) + (-a,-b) = (-a,-b) + (a,b) = (0,0)

5. Sifat komutatif
(a,b) + (c,d)) = (a + c, b + d)
= (c + a, d + b)
= (c,d) + (a,b), untuk setiap (a,b) (c,d)  C
Jadi (C;+) merupakan suatu grup abelian.

ii. 6. Sifat tertutup pada operasi perkalian ( . )

7. Bersifat asosiatif terhadap operasi penggandaan (perkalian)
((a,b) . (c,d) . (e,f) = (ac – bd, ad + bc) . (e,f)
= ((ac – bd) e – (ad + bc) f, (ac – bd) f + (ad + bc) f, (ac – bd) f + (ad + bc) e)
= (ace – bde – adf + bcf, acf + ade + bce)
= ((ace – adf) – (bde + bcf), (acf + ade) + (bce – bdf)
= (a (ce – df) – (b (cf + de), a (cf + de) + b (ce – df)
= (a,b) . (ce – df, cf + de)
= (a,b) . ((c,d) . (e.f))

8. Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan pada C ditunjukkan sebagai berikut
(a,b) . ((c,d)) + (e,f)) = (a,b) . (c + e, d + f)
= (a (c + e) – b (d + f), a (d + f) + b (c + e)
= (ac + ae – bd + bf, ad + af + bc + be)
= ((ac – bd) + (ae – bf), (ad + bc) + (af + be))
= (ac – bd, ad + bc) + (ae – bf , af + be)
= (a,b) . (c,d) + (a,b) . (e,f)

Sifat distributif kanan perklaian terhadap penjumlahan c yaitu :
(c,d) + (e,f) . (a,b) = ((c,d) . (a,b) + (c,f) . (a,b)
Jadi (C; +, .) merupakan suatu ring.

9. Ada satu sifat pada operasi perkalian yaitu sifat komutatif terhadap operasi perkalian ( . )
 a,b  R berlaku a . b = b . a
Bukti :
Misal : k = {a, b, c, d} dengan penjumlahan dan penggandaan yang didefinisikan oleh tabel berikut :
+ a b c d * a b c d
a a b c d a a a a a
b b c d a b a b c d
c c d a b c a a a d
d d a b c d a b c d

Buktikan k merupakan ring komutatif
Sifat komutatif terhadap operasi penggandaan ( . )
 (a,b) . (c,d) = (a . c, b . d)
= (c . a, d . b)
= (c,d) . (a,b) untuk setiap (a,b) . (c,d)  k
Jadi (C; +, .) merupakan suatu ring komutatif.


10. Terdapat elemen satuan terhadap operasi ( . )
Misal diberikan S adalah himpunan semua bilangan real berbentuk
S : {a,b,c,d }dengan operasi penjumlahan (+) dan penggandaan ( . ) buktikan bahwa S tertutup terhadap ekdua operasi tersebut.
S adalah ring komutatif dengan elemen satuan,
+ a b c d * a b c d
a a b c d a a a a a
b b c d a b a b c d
c c d a b c a a a a
d d a b c d a b c d


Satuan elemen identitas pada operasi penggandaan adalah a
Jadi (S; +, .) merupakan suatu ring yang mempunyai elemen satuan.