.: Mathematics

Tampilkan postingan dengan label Mathematics. Tampilkan semua postingan

12 Desember 2012

UPY Wisuda 508 Sarjana

12/12/2012 10:23:00 AM Education, Entertainment, Mathematics No comments

YOGYA (KRjogja.com) - Universitas PGRI Yogyakarta (UPY) mewisuda 508 sarjana baru S1 dan S2 di kampus setempat, Selasa (11/12). Para wisudawan rata-rata menyelesaikan masa studinya untuk S1 selama tiga tahun delapan bulan dan S2 dua tahun satu bulan.

Para wisudawan diantaranya 30 lulusan Program Pasca Sarjana Program Studi (Prodi) Pendidikan IPS S2 dan 478 Program S1. Untuk Progam S1 dengan rincian Fakultas Teknik Prodi Teknik Informatika 31 lulusan. Fakultas Pertanian Prodi Agroteknologi 2 lulusan. Fakultas Ekonomi Prodi Akuntansi 9 lulusan, Prodi Manajemen 14 lulusan.

Sementara Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Prodi Pendidikan Matematika 32 lulusan, Prodi Bimbingan dan Konseling 176 lulusan, Prodi PPKn 36 lulusan, Prodi Pendidikan Sejarah 47 lulusan, Prodi Pendidikan Guru SD 102 lulusan, Program Sarjana Kependidikan Bagi Guru dalam Jabatan Pendidikan Guru SD 27 lulusan, Progam Sarjana Kependidikan Bagi Guru dalam Jabatan Pendidikan Sejarah 2 lulusan.

Rektor UPY, Dra Hj Sri Pawiti MPd mengungkapkan, pada wisuda tersebut wisudawan terbaik untuk Program Pasca Sarjana Prodi Pendidikan IPS diraih Dwi Yuningsih MPd dengan Indeks Prestasi 3,93. Kemudian untuk S1 Fakultas Studi Pendidikan Pancasila dan Kewarnegaraan dengan Trialislah SPd dengan Indeks Prestasi 3,86.

Menurut Sri Pawiti, wisuda yang bersamaan dengan dies natalis ke 50, prestasi wisudawan dan wisudawati cukup memuaskan. Program S1 11 orang lulus dengan predikat memuaskan, 399 orang dengan predikat sangat memuaskan dan 68 orang dengan pujian. Program Pasca Sarjana 1 orang lulus dengan predikat memuaskan, 21 orang sangat memuaskan dan 8 orang dengan pujian

Source : UPY 2012

Rumus-rumus matematika

10/16/2012 10:05:00 AM Mathematics No comments

Silahkan download : rumus Math

Source : Rangkuman Math

Contoh Soal UN

10/16/2012 09:20:00 AM Mathematics No comments

Akar akar persamaan kuadrat 2x² - 3x -1 = 0 adalah x₁ dan x₂. Persamaan kuadrat baru yang akar akarnya satu lebih kecil dari dua kali akar akar persamaan kuadrat di atas adalah ........

A.	x² - x - 4 = 0
B.	x² + 5x - 4 = 0
C.	x² - x + 4 = 0

D.	x² + x + 4 = 0
E.	x² - 5x - 4 = 0

Jawaban : A
Penyelesaian :
Akar-akar persamaan lama : x₁ dan x₂

Akar-akar persamaan baru :  x_A dan x_B
                                             x_A = 2x₁ - 1
                                             x_B = 2x₂ - 1
                                             x_A + x_B  = (2x₁ - 1) + (2x₂ - 1)
                                                           = 2 (x₁ + x₂) - 2
                                                           = 2 (

) - 2
                                                           = 3 - 2
                                              x_A + x_B = 1

                                              x_A . x_B = (2x₁ - 1) (2x₂ - 1)
                                                          = 4 x₁.x₂ - 2(x₁ + x₂) + 1
                                                          = 4.(-

) - 2(

) + 1
                                                          = -2 - 3 + 1
                                              x_A . x_B = -4

Jadi persamaan kuadrat baru : x² - (x_A + x_B)x + x_A . x_B = 0
                                              x² - x - 4 = 0

Persamaan kuadrat (2m-4)x² + 5x + 2 = 0 mempunyai akar real berkebalikan, maka nilai m = ........

A.	-3
B.	-
C.

D.	3
E.	6

Jawaban : D
Penyelesaian :
Akar berkebalikan maka :

x₁ . x₂ = 1

= 1
                                         2 = 1 (2m - 4)
                                         2 = 2m - 4
                                      2m = 6
                                         m = 3

Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1,-4) dan melalui titik (2,-3) adalah ........

A.	y = 2x² -2x - 7
B.	y = 2x² - x - 5
C.	y = x² - 2x - 4

D.	y = x² - 2x - 3
E.	y = x² + 2x - 7

Jawaban : D
Penyelesaian :
Rumus umum fungsi kuadrat : y = ax² + bx + c

Koordinat titik balik (1, -4) : (x_s, y_min)
x_s = -

1 = -

b = -2a

Melalui titik (1,-4)

a + b + c = -4
Melalui titik (2,-3)

   4a + 2b + c  = -3 -
                                   -3a - b          = -1
                                   -3a - (-2a)    = -1
                                   -3a + 2a        = -1
                                                  -a   = -1
                                                     a  = 1
         b = -2a
         b = -2(1)
         b = -2

         a + b + c = -4
         1 - 2 + c = -4
         c = -3

Jadi fungsi kuadrat tersebut adalah : y = x² - 2x - 3

Jika A, B , C adalah penyelesaian sistem persamaan :
     2x + z = 5
     y - 2z + 3 = 0
     x + y - 1 = 0
maka A + B + C = ………

A.	-4
B.	-1
C.	2

D.	4
E.	6

Jawaban : C
Penyelesaian :
Ubah persamaannya menjadi :
     2x      +   z = 5     .............. (1)
             y - 2z = -3   .............. (2)
       x + y        = 1    ............... (3)

2 x (1) + (2) :
     4x      +  2z = 10
             y - 2z = -3   +
     4x + y        = 7  ................ (4)

(4) - (3) :
     4x + y        = 7
       x + y        = 1 -
     3x               = 6
                     x = 2

     4x + y = 7
     4(2) + y = 7
     8 + y = 7
     y = -1

2x + z = 5
2(2) + z = 5
4 + z = 5
z = 5 - 4 = 1

Maka A + B + C = x + y + z = 2 - 1 + 1 = 2

Diketahui A =

, B =

dan C =

. Jika XT menyatakan transpose dari matriks X, dan C = ((A - B)^T)⁴ , maka a + b + c - d = ........

A.	0
B.	1
C.	2

D.	3
E.	8

Jawaban : A
Penyelesaian :

Karena (A - B)^T adalah matriks Identitas maka ((A - B)^T)⁴ adalah juga matriks Identitas.
C = ((A - B)^T)⁴ =

Maka : a = 1, b = 0, c = 0, d = 1.
Jadi : a + b + c - d = 1 + 0 + 0 - 1 = 0

Program Linear

9/25/2012 11:17:00 AM Mathematics No comments

1. Definisi Pemrograman Linear

Setiap perusahaan atau organisasi memiliki keterbatasan atas sumber dayanya, baik keterbatasan dalam jumlah bahan baku, mesin dan peralatan, ruang tenaga kerja, jam kerja, maupun modal. Dengan keterbatasan ini, perusahaan perlu merencanakan strategi yang dapat mengoptimalkan hasil yang ingin dicapai, baik itu berupa keuntungan maksimal atau biaya minimal. Berbagai cara lain telah ditemukan untuk tujuan itu, salah satu diantaranya pemrograman linear (Eddy, 2008).

Pemrograman Linear merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Pemrograman Linear banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. Pemrograman Linear berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dengan beberapa kendala linear (Siringoringo, 2005).

1.1.Sejarah Singkat Pemrograman Linear

Pemrograman linear sebetulnya sudah lahir pada tahun 1939 oleh ide seorang ahli matematika Rusia bernama L. V. Kantorovich dengan metode yang terbatas. Akan tetapi, di Rusia ide ini tidak berkembang. Kemudian pada tahun 1947 seorang ahli matematika dari Amerika Serikat yaitu George B. Dantzig mengembangkan dan menemukan cara memecahkan pemrograman linear tersebut dengan “metode simpleks” (Supranto,1983).

1.2. Sifat Dasar Pemrograman Linear

` Sifat-sifat dasar atau Karakteristik Pemrograman Linear adalah sebagai berikut:

Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, cara ini dapat diperiksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar).
Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.
Sifat aditivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang di antara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat aditivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat aditivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan.
Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.
Sifat Kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstan. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.

Kelima asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya kelima asumsi ini (Siringoringo, 2005).

1.3. Model Pemrograman Linear

Model matematis perumusan masalah umum pengalokasian sumberdaya untuk berbagai kegiatan, disebut sebagai model pemrograman linear. Model pemrogram linear ini merupakan bentuk dan susunan dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik pemrogram linear.

Masalah pemrograman linear secara umum dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut.

…………………..(2. 1)

dengan kendala,

…………………………..(2.2)

dan

x_j≥ 0, j = 1, 2, 3, …., n …………………………………………………………..(2.3)

keterangan:

z = fungsi tujuan

x_j = jenis kegiatan (variabel keputusan)

a_ij= kebutuhan sumberdaya i untuk menghasilkan setiap unit kegiatan j

b_i= jumlah sumberdaya i yang tersedia

c_j= kenaikan nilai Z jika ada pertambahan satu unit kegiatan j

a, b, dan c, disebut juga sebagai parameter model

m = jumlah sumberdaya yang tersedia

n = jumlah kegiatan.

Fungsi Kuadrat

9/24/2012 11:55:00 AM Mathematics No comments

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax² + bx + c, dengan a ≠ 0

Sumbu simetri : x = -b/(2a)

Nilai maksimum y = -D/(4a), hanya berlaku jika a < 0

Nilai minimum y = -D/(4a), hanya berlaku jika a > 0

Koordinat titik puncak (-b/(2a), -D/(4a))

Menyusun fungsi kuadrat

1. Fungsi kuadrat yang melalui titik (a, 0) dan (b, 0) adalah

y = a(x - a)(x - b)

2. Fungsi kuadrat yang memiliki koordinat puncak (a, b) adalah

y - b = a(x - a)²

Sifat-sifat koefisien fungsi kuadrat :

a> 0 : parabola membuka ke atas

a < 0 : parabola membuka ke bawah

c > 0 : parabola memotong sumbu y positif

c < 0 : parabola memotong sumbu y negatif

c = 0 : parabola melalui (0, 0)

Diskriminan , D = b² – 4ac

D > 0 parabola memotong sumbu x di dua titik

D = 0 parabola menyinggung sumbu x

D < 0 parabola tidak memotong sumbu x

Khasus fungsi kuadrat definit è D < 0

1. Definit positif , artinya nilai y selalu positif berapapun nilai x, atau parabola
seluruhnya berada di atas sumbu x. Ini terjadi jika

a > 0

D <0

2. Definit negatif, artinya nilai y selalu positif berapapun nilai x, atau parabola
seluruhnya berada di bawah sumbu x. Ini terjadi jika

a < 0

D < 0

Hubungan antara parabola y = ax² + bx + c dengan gris y = k

ax² + bx + c = k

ax² + bx + c-k = 0

maka D = b ² – 4a(c - k)

1. D > 0 : parabola dan garis berpotongan di 2 titik

2. D = 0 : parabola dan garis saling bersinggungan

3. D < 0 : parabola dan garis tidak berpotongan

Hubungan antara parabola y = ax² + bx + c dengan gris y = mx + n

ax² + bx + c = mx + n

ax² + (b-m)x + c-n = 0

maka D = (b – m)² – 4a(c - n)

1. D > 0 : parabola dan garis berpotongan di 2 titik

2. D = 0 : parabola dan garis saling bersinggungan

3. D < 0 : parabola dan garis tidak berpotongan

Hubungan antara parabola y = ax² + bx + c dan parabola y = px² + qx + r

ax² + bx + c = px² + qx + r

(a - p) x² + (b-q) x + c- r = 0

D = (b – q)² – 4(a – p)(c – r)

1. D > 0 : kedua parabola berpotongan di 2 titik

2. D = 0 : kedua parabola saling bersinggungan

3. D < 0 : kedua parabola tidak berpotongan

Source : Fungsi Kuadrat

TRANSFORMASI GEOMETRI

9/24/2012 11:51:00 AM Mathematics No comments

1. Pengertian Transformasi Transformasi T dibidang adalah suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

Translasi (Pergeseran)
Refleksi (Pencerminan)
Rotasi (Perputaran)
Dilatasi (Perkalian)

2. Translasi dan Operasinya
Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
Jika translasi

memetakan titik P (x, y) ke titik P’(x’, y’) maka x’ = x + a dan y’ = y + b atay P’ (x + a, y + b ) ditulis dalam bentuk :

Contoh : Tentukan koordinat bayangan titik A (-3, 4) oleh translasi

Jawab :

A’ = ( -3 + 3, 4 + 6)

A’ = (0, 10)

3. Refleksi (Pencerminan)

a. Pencerminan terhadap sumbu x

Matriks percerminan :

b. Pencerminan Terhadap sumbu y

Matriks Pencerminan:

c. Pencerminan terhadap garis y = x

Matriks Pencerminan

d. Pencerminan terhadap garis y = -x

Matriks Pencerminan:

e. Pencerminan terhadap garis x = h

Matriks Pencerminan:

Sehingga:

f. Pencerminan terhadap garis y=k

Matriks Pencerminan :

Sehingga:

g. Pencerminan terhadap titik asal O (0, 0)

Matriks Pencerminan :

Sehingga:

h. Pencerminan terhadap garis y = mx dimana m = tan q

Contoh :

Tentukan bayangan persamaan garis y = 2x – 5 oleh translasi

Jawab :

Ambil sembarang titik pada garis y = 2x – 5, misalnya (x, y) dan titik bayangan oleh translasi

adalah (x’, y’) sehingga ditulis

Atau

x’ = x + 3

x = x’- 3 ..... (1)

y’ = y – 2

y = y’ + 2 ......(2)

Persamaan (1) dan (2) disubtitusikan pada persamaan garis semula, sehingga :

y = 2x – 5

y’ + 2 = 2 (x’- 3) – 5

y’ = 2x’ – 6 – 5 – 2

y’ = 2x’ – 13

Jadi persamaan garis bayangan y = 2x – 5 oleh translasi

adalah y = 2x – 13 .

Source : Tranformasi : Bahan tranformasi

Matriks

9/24/2012 11:41:00 AM Mathematics No comments

Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix} \!$

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

$a_{ij} \pm b_{ij} = c_{ij}\!$

atau dalam representasi dekoratfinya

$\begin{bmatrix} {3} & {4} \\ {6} & {5} \\ \end{bmatrix} \!$

$\begin{bmatrix} (a_{11} \pm b_{11}) & (a_{12} \pm b_{12}) & (a_{13} \pm b_{13}) \\ (a_{21} \pm b_{21}) & (a_{22} \pm b_{22}) & (a_{23} \pm b_{23}) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ \end{bmatrix} \!$

Perkalian Skalar
Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

$\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}$

Contoh perhitungan :

$5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{pmatrix}$

Perkalian matriks
Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

$c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}$

Contoh perhitungan :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 39 & -12 \end{pmatrix}$